BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Sebelumnya telah kita pelajari definisi relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan telah membuktikan sifat-sifatnya. Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a

2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , a lebih besar dari b ( di nyatakan dengan a > b ) bila dan hanya bila b

Dalam makalah ini akan dibahas mengenai urutan bilangan-bilangan bulat beserta sifat dan pembuktiannya.

B. RUMUSAN MASALAH

Rumusan masalah tentang makalah ini adalah

1. Apa definisi dari urutan bilangan-bilangan bulat?

2. Bagaimana sifat dari urutan bilangan bulat?

3. Bagaimana pembuktiannya?

C. TUJUAN

Adapun tujuan dari makalah ini adalah

1. Agar dapat memahami arti dari urutan bilangan-bilangan bulat,

2. Agar dapat mengetahui sifat dari urutan bilangan-bilangan bulat,

3. Agar dapat mengetahui pembuktian urutan bilangan-bilangan bulat.

BAB II

PEMBAHASAN

URUTAN BILANGAN – BILANGAN BULAT

Sebelumnya telah kita pelajari definisi relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan telah membuktikan sifat-sifatnya. Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

3. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a

4. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , a lebih besar dari b ( di nyatakan dengan a > b ) bila dan hanya bila b

Urutan bilangan-bilangan bulat ini akan tampak jelas pada garis bilangan tersebut.

-3 -2 -1 0 1 2 3

· Ke kanan lebih besar

· Ke kiri lebih kecil

Pada garis bilangan, a < b di tunjukan bahwa titik yang menyatakan a berada di sebelah kiri dari titik yang menyatakan b . Misalkan (-4) < (-1) , terlihat pada garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan (-4) berada di sebelah kiri dan titik yang menyatakan (-1).

Telah kita pelajari bahwa jika a dan b bilangan-bilangan cacah, maka berlaku tepat satu relasi di antara a < b = dan a > b yang terkenal sebagai trikotmi . Adapun sifat trikotomi berlaku pada bilangan-bilangan bulat ? coba selidiki pula bahwa relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan bulat berlaku sifat-sifat inrefleksif , asimetris dan transitif.

Demikian pula , anda dengan mudah dapat membuktikan kebenaran pernyataan –pernyataan berikut : Apabila a,b,c dan bilangan-bilanagan bulat dan

1. a = b maka a + c = b+c

2. a = b maka a x c = b xc

3. a = b dan a = c maka a + c = b + d

4. a + c = b + c maka a =b

5. a x c = b x c dengan c = 0 maka a = b.

pembuktian sifat-sifat berikut sejala dengan pembuktian yang telah di berikan pada bilangan-bilangan cacah dalam modul 1, sifat-sifat itu adalah :

· Sifat 2.2 :

jika a, b dan bilangan-bilangan bulat , maka a < b bila dan hanya bila a + c < b + c.

· Bukti :

1. Di buktikan jika a < b maka a + c < b+c.

a+k =b Definisi “lebih kecil dari”

(a+k) + c =b+c sifat penjumlahan pada kesamaan

a+(k+c) =b+c sifat asosiatif penjumlahan

a+(c+k) =b+c sifat komunikatif penjumlahan

(a+ c)+ k =b+ c sifat assosiatif penjumlahan

a + c < b + c definisi “ lebih kecil dari “

2. Dibuktikan ,jika a + c < b + c maka a < b

a + c < b + c , berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga

(a + c)+ p = b + c definisi “ lebih kecil dari “

a +( c + p) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + ( p + c) = b + c sifat komunikatif penjumlahan

(a + p) + c = b + c sifat asosiatif penjumlahan

(( a+ p) + c (- c) = (b + c) + (-c) sifat penjumlahan pada kesamaan

(a + p) + (c + (-c) = b+ (c + (-c)) sifat asosiatif penjumlahan

(a+p) + 0 = b + 0 Invers penjumlahan

a + p = b definisi “ lebih kecil dari “

a < b

Dari ( i) dan ( ii) terbukti bahwa

a < b bila dan hanya bila a + c < b + c

Perhatikan jika a + c < b + c maka a < b belum dapat dibuktikan apabila a,b dan c bilangan –bilangan cacah

Sifat 2.3

Jika a dan b bilangan –bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b maka a x c < b x c

Bukti :

a < b , berarti ada bilangan positif k sedemikian hingga

a + k = b definisi “ lebih kecil dari “

( a + k ) x c = b x c sifat perkalian pada kesamaan

( a x c ) + ( k x c ) = b x c sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

a x c < b x c definisi “ lebih kecil dari “, karena (k x c ) bilangan bulat positif

Konvers dari sifat 2.3 juga bernilai benar , yaitu :

Sifat 2.4

Jika a dan b bilangan –bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka a < b

Bukti

a x c < b x c

( a x c ) + ( -( b x c ) ) < b x c ) + ( - ( b x c)) Sifat penjumlahan pada ketidaksamaan

( a x c ) + (( -b ) x c ) < 0 invers penjumlahan

( a + ( -b )) x c < 0 sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

( a + ( -b)) x c < 0 c bilangan bulat positif

a + ( - b)) + b < 0 + b sifat penjumlahan pada ketidaksamaan

a + ((-b) + b) < b siat assosiatif penjumlahan

a < b invers penjumlahan

sifat 2.3 dan sifat 2.4 dapat disimpulkan dalam satu kalimat yaitu : jika a dan b bilangan –bilangan bulat dan c bilangan bulat positif maka a < b bila a x c = b x c.

sifat 2.5

Jika a dan b bilangan –bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b maka a x c > b x c.

Bukti

a < b ada bilangan bulat positif sedemikian hingga a + k = b definisi “ lebih kecil dari “.

( a + k ) x c = b x c sifat perkalian pada ketidaksamaan

( a x c ) + ( k x c ) = b x c sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Karena k bilangan bulat positif dan c bilangan bulat negatif

maka (k x c) suatu bilangan bulat negative ,

sehingga –( k x c) bilangan bulat positif

(( a x c) + (k x c )) + ( -( k x c))) =b x c + ( - k x c

Sifat penjumlahan pada kesamaan

( a x c) + (( k x c) + (-(k x c) =b x c + ( - k x c)

Sifat assosiatif penjumlahan

(a x c) + 0 = ( b x c ) + (-( k x c)) invers penjumlahan

(a x c ) =( b x c) +(-( k x c )) karena -( k x c )) bilangan bulat positif , maka a x c > b x c definisi “ lebih kecil dari “

Sifat 2.6 :

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan bilangan bulat negatif secara a x c > b x c maka a < b.

Bukti :

Sifat ini mirip bukti sifat 2.4, di persilahkan anda membutkan sendiri .

Untu mengeahui penguasaa aa terhadap materi ini !

Benar (B) ataukah salah (S) pertanyaan-pertanyaan berikut ? jika benar , buktikanlah pernyataan itu dan, jika salah tunjukalah dengan contoh !

1. Jika a,b dan c bilangan-blangan bulat dan a < b maka a x c < b x c

2. Jika a dan bilangan-bilangan bulat , c bilangan bulat positif merupakan faktor bersama dari a dan b, dan a > maka a : c > b : c.

3. Jika a ,b dan c bilangan-bilangan bulat dengan a x (-c) < b x ( -c) maka a > b

4. Jika a ,b dan c bilangan-bilangan bulat , yang tidak nol , a dan b masing-masing adalah faktor dari c dan a < b maka c : a

5. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat negative dan a > maka (a x c ) – (b x c) < 0.

6. Jika a,b dan c bilangan-bilanga bulat dan a > b maka (-a ) x c < (-b) x c

7. Jika a,b, c dan d bilangan-bilangan dengan bulat dengan a < b dan c < d dan c < d maka a x c < b x d.

8. Jika a, b,c dan d bilangan-bilangan bulat dengan a > b maka a +d > b + c.

Petunjukan jawaban latihan :

1. S contoh: 3<5 maka 3 x (-2) < 5 x (-2).

2. B Bukti :

1) Karena c faktor dari a, maka ada bilangan bulat m sedemikian hingga a:c= m berarti pula a=c x m

2) Karena c faktor dari (b, maka ada bilangan bulat n sehingga b : c =n, berarti pula b=c x n

3) A=c x m, b= c x n dan a >b maka c x m > c x n .

4) Karena c bilangan bulat negative dan c x m > c x n maka m > n

5) Karena m=a : c dan n = b:c serta m >n , maka a :c > b:c

3. S contoh : 3 x(-5)< (-4) x (-5) maka 3<(-5)

4. S contoh : (-3) < 4 maka (-24) : (-3) < (-24)

5. B bukti:

1) a>b dan c bilangan bulat negative maka a x c < b x c

2) (a x c)+ (-(b x c)) < ( b x c) + (-(b x c))

3) (a x c ) – ( b x c )< 0

6. S contoh ; (-5) > (-12) maka (-(-5))> (-(-12))(-4) yaitu ( -20)<(-48)

7. S contoh : (-5) < 2 dan (-7)<1 maka (-5)(-7)<2.1

8. B bukti;

1) A > b bila dan hanya bila b < a

2) b < a berarti ada bilangan bulat positif m sehingga b+m =a

3) c < d berarti ada bilangan bulat positif n sehingga c+n=d

4) dari kesamaan-kesamaan 2 dan 3 diperoleh ( b+n) + ( c +n )(=a + d)

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Sebelumnya telah kita pelajari definisi relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan telah membuktikan sifat-sifatnya. Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a

2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , a lebih besar dari b ( di nyatakan dengan a > b ) bila dan hanya bila b

B. SARAN

Sebagai guru SD, hendaknya guru dapat mengetahui tentang teori bilangan teutama mengenai urutan bilangan bulat dalam garis bilangan. Sehingga dengan begitu guru SD tahu secara umum mengenai teori bilangan.

DAFTAR PUSTAKA

Sukarman, Herry. 1993. Materi Pokok Teori Bilangan. Jakarta: Universitas Terbuka.

0 komentar: